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講義No.08840

さまざまな分野で「現象」の解明に用いられる関数方程式

関数方程式とは?

 数学は、大きく3つの分野に分かれます。代数学と幾何学、解析学です。難しそうな名前ですが、あなたが中学で学んだ一次方程式や二次方程式は、代数方程式と呼ばれるもので、代数学の分野に入ります。それに対して関数方程式は、数ではなく関数がみたす「方程式」のことで、同じ方程式でも解析学の分野に入ります。微分を含む関数方程式を「微分方程式」、積分を含む関数方程式を「積分方程式」といいます。また数列を定める「漸化式」も関数方程式の1つです。

関数方程式でロケットを飛ばす!

 関数方程式を用いると未来が予測できます。例えば高校では物理で運動方程式を学びますが、その原理は位置と速度の微小変化の関数を表す微分方程式です。惑星運動の美しい性質も、リンゴが木の枝から落下する現象も、ニュートンが発見したたった1つの微分方程式から導かれます。すなわち、現象を微分方程式でモデル化し、その微分方程式を解くことで、物体の運動が予測できるのです。これが関数方程式のすごいところです。またロケットの軌道も微分方程式を用いて計算されています。つまり、微分方程式がなければロケットを正確に飛ばせないのです。

解くのではなく、証明する

 大学受験までに勉強するような、解が明確な形で求まる微分方程式というのは、数学では初歩的なレベルに過ぎません。実際は、自然界の複雑な現象を表す非線形微分方程式の解は求まらない場合がほとんどです。ではどうするのかというと、解を求めずに、別の方法で解の性質を調べて証明します。微分方程式の解を、コンピュータを使って数値シミュレーションで予測し、それをヒントにしながら解の性質を証明することもあります。数学の分野では、最後に証明まですることで初めて研究成果として認められます。関数方程式は自然科学だけでなく工学・経済学など、広く応用されています。これからも関数方程式によるさまざまな分野の新しい発見や発展の可能性は、大いにあるのです。

考える数学~問題に潜む論理を見抜け

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この学問が向いているかも 数学、解析学、物理学

大阪府立大学
生命環境科学域 理学類 数理科学課程 教授
松永 秀章 先生

メッセージ

 どの大学に進学するか、どの学部を選択するかという問題は、確かに難しいです。しかし、たとえどこへ進学したとしても、先生や友人から刺激を受ける中で、自分のやりたいことを必ず見出せると思います。大切なのはそこで何を学び、何を身につけるかです。
 数学科で数学を学んだ学生が企業に就職する場合、よく人事担当者から論理的な思考力を評価されます。それは現状を分析し、本質を見抜き、解を導き出す力が高いからです。今は、自分の興味のあることを追究してみましょう。

先生の学問へのきっかけ

 小さい頃から算数が大好きでした。算数の苦手な友だちに教えたところ「説明がわかりやすかった。おかげで理解できた」と喜んでもらえた経験もあります。また高校1年時の担任の数学の先生が、数学の面白さや魅力を教えてくれたおかげで、自分もあんな先生になりたいと、将来は高校の数学の先生をめざしました。そして進学した大学で「方程式をみたす解(関数)の性質を予測して数学的に証明する」という関数方程式の魅力にひかれ、そのまま大学で研究を続けています。

先輩たちはどんな仕事に携わっているの?

中学・高校教員/教育関連出版編集/情報通信SE/システムメーカーSE/空調機メーカーSE/銀行業一般職/官公庁一般職

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松永 秀章 先生がいらっしゃる
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 公立大学法人大阪府立大学は、2005年、大阪府立大学・大阪女子大学・大阪府立看護大学の3大学が統合してスタートしました。
 そして2012年、公立大学法人大阪府立大学は「国際・多様・融合」をキーワードに、7学部28学科から4学域13学類体制にカリキュラムを再整備しました。加えて、大学院7研究科も19専攻から21専攻へと、研究分野をより充実させます。
 広大な敷地と最新の設備を整え、恵まれた教育・研究環境を学生の皆さんに提供し、高度研究型の総合大学として人材育成に努めています。

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