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講義No.07474

数学者には見える、「ドラクエ」のような世界

ドラクエの世界は球体ではない

 一般の人はすべての物体を「x、y、z」の座標で示せる、いわゆる3次元ユークリッド空間として認識しています。しかし数学者は空間をもっと自由な、グニャグニャ曲がりくねったものとしてとらえています。そうした観点から見ると、球面は無数の小さな平面が貼り合わさったものとなります。そしてある平面上の一点は、違う平面の対応する一点と同じだとみなすのです。
 例えば、ゲーム「ドラゴンクエスト」で船で右へ進んでいたのに、いつの間にか地図の左の方にいたという経験はありませんか? ドラクエの世界は左右の端にある座標が対応関係にあり、それを貼り合わせるとドーナツのような形になります。上下にも同じことが言えますから、ドラクエは左右と上下2つのドーナツが組み合わさった世界となります。数学者はこのような形で空間を認識しているのです。

宇宙には何通りものモデルがある

 そうした視点から宇宙をとらえると、実は数学的に矛盾のないモデルがたくさんあり、何通りもの可能性が考えられます。本来、物理学的には宇宙の形はひとつに決まっていた方がわかりやすいのですが、何通りもの可能性があると、「なぜ人間が存在するのはこの世界なのか?」という、新たな理由が必要になってしまいます。
 矛盾を解決する理論として物理学から生まれたのが、「ミラー対称性」という考え方です。簡単に言うと、何通りもの宇宙モデルはすべて正しいのですが、人間の目ではある同じ形に見えるというものです。

異なる空間で問題を考える

 相関関係にある2つの空間を結び付けて考える方法は、数学のさまざまな問題を解決するのに役立ちます。例えば、Aという空間で複雑だった問題がBという空間では簡単に解けることがあり、その解法を用いればAでの問題も解けるといったことが可能になるのです。さまざまな空間を並行して調べることで数学的な理解が深まるとわかったことで、ミラー対称性は現在、世界中で活発に研究されているのです。

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この学問が向いているかも シンプレクティック幾何学

首都大学東京
理学部 数理科学科 准教授
赤穂 まなぶ 先生

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メッセージ

 数学には明確な式と答えがあるイメージですが、実際は違います。
 実は、数学の世界は「おそらくこうなるのでは?」という予想であふれ、そもそも問題自体が確定していないものも多いのです。例えば、「○○=△△」という予想の右辺は定義できていても、左辺は定義すらできていない、そういうものがたくさんあります。数学はあまりにも高度化し、もはや研究者1人の手で解き明かせるものではなくなってきています。ある意味、すべての人に解決に寄与するチャンスがあると言えるでしょう。

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